Materi Dan Teladan Soal Irisan Kerucut Hiperbola

MATERI DAN CONTOH SOAL HIPERBOLA

Irisan kerucut yakni kawasan kedudukan  titik-titik pada bidang yang perbandingan  jaraknya kepada sebuah titik dan sebuah garis   selalu tetap. Salah satu jenis irisan kerucut ini adalah hiperbola. Hiperbola terjadi bila kerucut diiris  sejajar dengan sumbu simetri.

Hiperbola yakni kawasan kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya kepada dua titik tertentu senantiasa tetap. Dua titik tertentu itu disebut fokus hiperbola.

     

Hiperbola yang berpusat di titik O(0,0).

• F1 (-c, 0) dan F2 ( c, 0) yakni titik konsentrasi hiperbola yang jaraknya 2c. Sementara selisih jarak yang tetap itu yakni 2a.

• Sumbu utama yakni sumbu x, sedangkan sumbu sekawan yakni sumbu y.

• Sumbu mayor yakni A1A2, panjangnya 2a. Sumbu minor yakni B1B2, panjangnya 2b.

• Titik A1 dan A2 disebut klimaks hiperbola yang ialah titik potong hiperbola dengan sumbu mayor.

• Lactus rectum yakni garis vertikal yang lewat salah satu fokus, tegak lurus sumbu mayor, dan memotong hiperbola di dua titik. Panjang lactus rektum yakni

2b²

                             a

• Persamaan asimtot hiperbola yakni

    

• Eksentrisitas = e =  c  , dengan e > 1.

                                  a

• Persamaan garis direktriks yakni

• Ketentuan khusus pada hiperbola yakni   c² = a² + b².

Persamaan Hiperbola a. Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0)

        

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu khususnya sumbu x adalah

x²    −     y²    =   1

          a²            b²

Titik konsentrasi yakni  F1(c, 0) dan  F2(-c, 0).

Titik puncak yakni A1(a, 0) dan A2(-a, 0).

Persamaan asimtotnya adalah

Bagaimana bila sumbu khususnya yakni sumbu y

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu khususnya sumbu y adalah

y² − x² = 1

a²    b²

Titik konsentrasi yakni F1(0, c) dan F2(0, -c).

Titik puncak yakni A1(0, a) dan A2(0, -a).

Persamaan asimtotnya adalah

Contoh soal :

1. Diketahui persamaan hiperbola 4x² – 9y² = 36.  

 Tentukanlah :

a.Koordinat sentra

b.Koordinat klimaks

c.Koordinat titik focus

d.Persamaan garis direktriks

e. Persamaan garis asimtot 

f. Panjang latus rectum

g. eksentrisitas

d. Persamaan garis direktriks

h. bagan grafiknya

 Penyelesaian:

4x² – 9y²=36 ↔ x² − y²=1

                            9     4

a²=9↔a=3                   b²=4↔b=2

a. koordinat titik pusatnya yakni ( 0,0)! 

b. koordinat titik puncaknya (a,0) dan (-a,0) yakni (3,0) dan (-3,0)

c. c=√a²+b² = √9+4=√13

koordinat titik fokusnya F1 (-c,0) dan F2 (c,0) yakni F1 ( √13, 0) dan F2 ( √13,0)

d. Persamaan garis direktriksnya adalah

x =  a²  =    9   =  9  √13 dan   x = −a² = −9 √13

       c      √13     13                          c       13

e. Persamaan garis asimtotnya adalah

 y = b  x = 2 x  dan  y = − bx = −2 x

       a        3                         a        3 

e. Panjang latus rectum :

 L = 2b² =  2.4  = 8

         a         3      3

f. Nilai eksentrisitas

e =  c  =  √13

       a          3