Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Jika pada topik sebelumnya kau sudah belajar wacana operasi yang berlaku pada himpunan, maka pada topik kali ini kau akan belajar wacana sifat-sifat operasi himpunan.

A. Ketertutupan

Sifat ketertutupan pada operasi himpunan mempunyai makna bahwa hasil dari pengoperasian dua atau lebih himpunan menciptakan satu solusi berupa himpunan.

B. Sifat Komutatif

Sifat komutatif pada operasi himpunan cuma berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaitu A ∩ B = B ∩ A dan A ∪ B = B ∪ A.

Contoh:

Diketahui dua himpunan A = {3, 4, 5, 6} dan B = {2, 3, 4}.

Tunjukkan bahwa A ∩ B = B ∩ A dan A ∪ B = B ∪ A.

Penyelesaian:

A ∩ B = B ∩ A

Perhatikan anggota-anggota pada himpunan A dan B. Anggota A ∩ B merupakan komplotan dari anggota pada himpunan A dan himpunan B. Anggota himpunan A yang terdapat di himpunan B merupakan 3, 4. Dengan demikian, A ∩ B = {3,4}. Selanjutnya, kita tentukan B ∩ A. Anggota di himpunan B yang terdapat di himpunan A merupakan 3, 4. Dengan demikian, B ∩ A = {3, 4}. Dari hasil tersebut sanggup ditarik kesimpulan bahwa A ∩ B = B ∩ A.

A ∪ B = B ∪ A

Untuk menyeleksi A ∪ B, kau sanggup menuliskan kembali semua anggota A dan B, yakni 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4. Oleh alasannya merupakan ada dua nilai yang serupa untuk 3 dan 4, maka sanggup ditulis satu kali saja, sehingga A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6}. Begitu pula untuk menyeleksi B ∪ A. Dengan menuliskan kembali semua anggota B dan A dengan anggota yang serupa ditulis satu kali, yakni 2, 3, 4, 5, 6, sehingga diperoleh B ∪ A = {2, 3, 4, 5, 6}. Dari hasil tersebut sanggup ditarik kesimpulan bahwa A ∪ B = B ∪ A.

C. Sifat Asosiatif

Sifat asosiatif pada operasi himpunan cuma berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaitu(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) dan (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Contoh:

Diketahui A = {p, q, r, s}, B = {r, s, t} dan C = {q, r, s}.

Tunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) dan (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Penyelesaian:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Anggota himpunan A yang juga terdapat di himpunan B merupakan r, s, sehingga diperoleh A ∩ B = {r, s}. Adakah anggota himpuanan C yang serupa dengan anggota di A ∩ B? Ternyata ada yakni r, s. Dengan demikian, (A ∩ B) ∩ C = {r, s}. Selanjutnya, amati anggota himpunan B yang terdapat di himpunan C yakni r, s, sehingga B ∩ C = {r, s}. Amati anggota himpunan A yang terdapat di himpunan B ∩ C yakni r, s, sehingga (A ∩ B) ∩ C = {r, s}. Dengan demikian sanggup ditunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Kita tentukan dulu (A ∪ B) ∪ C.

(A ∪ B) ∪ C = ({p, q, r, s} ∪ {r, s, t}) ∪ {q, r, s}

(A ∪ B) ∪ C = {p, q, r, s, t} ∪ {q, r, s}

(A ∪ B) ∪ C = {p, q, r, s, t}

Kemudian, kita tentukan A ∪ (B ∪ C).

A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s} ∪ ({r, s, t} ∪ {q, r, s})

A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s} ∪ {q, r, s, t}

A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s, t}

Dengan demikian, sanggup ditunjukkan bahwa (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

D. Sifat Distributif

Sifat distributif pada operasi himpunan cuma berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaituA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) dan A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Contoh:

Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4, ..., 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10} dan C = {1, 3, 5, 7, 9}. Tunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).

Penyelesaian:

Langkah pertama, tentukan hasil dari A ∩ (B ∪ C).

A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ ({2, 4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9})

A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1, 2, 3, 4, ..., 10}

A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10}

Langkah kedua tentukan hasil dari (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

(A ∩ B) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {2, 4, 6, 8, 10}

(A ∩ B) = {2, 4, 6, 8, 10}

(A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}

(A ∩ C) = {1, 3, 5, 7, 9}

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {2, 4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9}

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10}

Dengan membandingkan hasil final langkah permulaan dan kedua, sanggup ditunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).

E. Sifat Identitas

Sifat identitas yang berlaku pada operasi irisan dan adonan antara lain:

1. A ∩ ∅ = ∅
2. A ∩ S = A
3. A ∪ ∅ = A
4. A ∪ S = S

Contoh:

Diketahui S = himpunan bilangan orisinil kurang dari 10 dan J = {2, 3, 5, 7}. Tentukan:

a. J ∩ ∅

b. J ∩ S

c. J ∪ ∅

d. J ∪ S

Penyelesaian:

S = himpunan bilangan orisinil kurang dari 10 maka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

a. J ∩ ∅ = {2, 3, 5, 7} ∩ { } ( Ingat irisan dua himpunan didapat dengan mencari anggota yang sama)

J ∩ ∅ = ∅

b. J ∩ S = {2, 3, 5, 7} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

J ∩ S = {2, 3, 5, 7}

J ∩ S = J

c. J ∪ ∅ = {2, 3, 5, 7} ∪ { } (Ingat adonan dua himpunan didapat dengan memadukan semua anggota kedua himpunan tersebut)

J ∪ ∅ = {2, 3, 5, 7}

J ∪ ∅ = J

d. J ∪ S = {2, 3, 5, 7} ∪ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

J ∪ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

J ∪ S = S

F. Idempoten

Sifat idempoten yang berlaku pada operasi irisan dan adonan antara lain:

1. A ∩ A
2. A ∪ A

Contoh:

Diketahui K = {4, 5, 6}. Tentukan:

a. K ∩ K

b. K ∪ K

Penyelesaian:

a. K ∩ K = {4, 5, 6} ∩ {4, 5, 6} = {4, 5, 6}

K ∩ K = K

b. K ∪ K = {4, 5, 6} ∪ {4, 5, 6} = {4, 5, 6}

K ∪ K = K

G. Sifat Komplemen

Sifat embel-embel pada operasi himpunan cuma berlaku untuk irisan dan gabungan.

1. A ∩ Ac = ∅
2. A ∪ Ac = S
3. (Ac )c = A
4. ∅c = S
5. Sc = ∅

Contoh:

Diketahui S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} dan L = {6, 8, 9, 10, 11}. Tentukan L ∩ Lc .

Penyelesaian:

Lc adalah semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan bab dari himpunan L, sehingga Lc = {2, 3, 4, 7}. Dengan demikian, diperoleh:

L ∩ Lc = {6, 8, 9, 10, 11} ∩ {2, 3, 4, 7}

L ∩ Lc = { }

L ∩ Lc = ∅

Jadi, L ∩ Lc = ∅.

H. Sifat Pengurangan

Operasi penghematan pada himpunan tidak bersifat komutatif. Oleh alasannya merupakan operasi penghematan tidak bersifat komutatif, maka tidak bersifat asosiatif maupun identitas yaitu:

1. A - B ≠ B - A

2. A - (B - C ) ≠ (A - B) - C

3. A - ∅ ≠ ∅ - A

Contoh:

Diketahui M = {a, b, c, d, e, f} dan N = {1, a, 2, b, 3, c}. Buktikan bahwa M - N ≠ N - M.

Penyelesaian:

M - N merupakan himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari himpunan M dan bukan anggota himpunan N.

M - N = {a, b, c, d, e, f} - {1, a, 2, b, 3, c}

M - N = {d, e, f}

N – M merupakan himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari himpunan N dan bukan anggota himpunan M.

N – M = {1, a, 2, b, 3, c} - {a, b, c, d, e, f}

N – M = {1, 2, 3}

Dengan demikian, terbukti bahwa M - N ≠ N – M.

I. Subset

Subset atau himpunan bab merupakan sebuah himpunan yang merupakan bab dari himpunan utama. Subset dinyatakan dengan lambang “⊂” tapi jikalau bukan himpunan bab dilambangkan dengan “⊄”. Banyaknya anggota himpunan bab dari K dirumuskan: 2n(K)dengan n(K) merupakan banyaknya anggota himpunan K.

Contoh:

Jika dikenali O = {1, 4, 7}, maka tentukan banyaknya himpunan bab O.

Penyelesaian:

Diketahui O = {1, 4, 7}, maka n(O) = 3

Banyaknya himpunan bab O = 2n(O)
Banyaknya himpunan bab O = 23 
Banyaknya himpunan bab O = 8

Jadi, banyaknya anggota himpunan bab dari O ada 8 yakni { }, {1}, {4}, {7}, {1, 4}, {1, 7}, {4, 7}, {1, 4, 7}.

J. Absorption

Absorption merupakan himpunan-himpunan yang bila dioperasikan akan terserap menjadi sebuah himpunan tertentu. Absorption dirumuskan selaku berikut:

A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A

Contoh:

Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {0, 3, 4, 5}. Buktikan bahwa A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A.

Penyelesaian:

Langkah pertama, kita buktikan dulu bahwa A ∪ (A ∩ B) = A.

A ∩ B merupakan himpunan yang anggotanya terdapat di A dan B yakni A ∩ B = {3}.

A ∪ (A ∩ B) = {1, 2, 3} ∪ {3}

A ∪ (A ∩ B) = {1, 2, 3}

A ∪ (A ∩ B) = A

Jadi, terbukti bahwa A ∪ (A ∩ B) = A.

Langkah berikutnya, kita buktikan bahwa A ∩ (A ∪ B) = A.

A ∪ B merupakan himpunan yang anggotanya merupakan adonan semua anggota A dan B yakni A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

A ∩ (A ∪ B) = {1, 2, 3} ∩ {0, 1, 2, 3, 4, 5}

A ∩ (A ∪ B) = {1, 2, 3}

A ∩ (A ∪ B) = A

Jadi, terbukti bahwa A ∩ (A ∪ B) = A.

Dengan demikian sanggup dibilang bahwa A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A.

K. Penghilangan

Jika A = B, maka A ∩ C = A ∩ B untuk C sebuah himpunan.

Contoh:

Diketahui A = {k, l, m}, B = {k, l, m} dan C = {l, m, n, o}. Buktikan bahwa A ∩ C = A ∩ B.

Penyelesaian:

Langkah pertama, kita tentukan A ∩ C.

A ∩ C = {k, l, m} ∩ {l, m, n, o} = {l, m}

Langkah kedua, kita tentukan A ∩ B.

B ∩ C = {k, l, m} ∩ {l, m, n, o} = {l, m}

Dengan demikian, terbukti bahwa A ∩ C = B ∩ C untuk C sebuah himpunan.

L. Dualitas

Prinsip dualitas berlaku bila kita menukar “∪” dengan “∩”, “S” dengan “∅”, dan sebaliknya. Pernyataan gres tersebut disebut dual dari pernyataan aslinya.

Contoh:

Diketahui pernyataan (A ∪ ∅) ∩ (S ∪ B) = A. Tentukan dual dari pernyataan tersebut.

Penyelesaian:

Dual dari pernyataan (A ∪ ∅) ∩ (S ∪ B) = A merupakan (A ∩ S) ∪ (∅ ∩ B) = A.